π를 계산하는 또 다른 방법

피자 크로스트 부분을 잘라내 다른 피자 위에 일렬로 놓아보죠 그러면 피자 껍질이 피자 3판하고 조금 더 넘는 것을 확인할 수 있습니다. 
이게 바로 파이입니다. 원의 둘레는 대략 지름에 3 14배 정도 되죠. 
파이는 원의 넓이와도 관련이 있습니다.
피자를 매우 얇은 조각으로 잘라 이어붙여 직사각형처럼 만들어 보도록 하죠. 
직사각형의 넓이를 구하는 공식은 가로 곱하기 세로입니다 가로를 살펴보면 크러스트가 반씩 윗변과 아랫변을 만들고 있기 때문에 직사각형의 길이는 1 둘레의 반 즉 파이 곱하기 반지름입니다.
세로의 경우에는 피자 조각의 길이이기 때문에 원래 피자의 반지름이 됩니다. 
따라서 넓이는 파이r제곱이 됩니다.
그러면 과거의 파일을 계산하기 위해 사용했던 방법은 뭐였을까요. 
어쩌면 가장 뻔한 방법일 겁니다. 타이가 3과 4 사이에 존재하는 숫자라는 걸 보이는 건 매우 쉽습니다. 
원을 그리고 원 내부의 한 변의 길이가 1인 6각형을 그립니다. 
정육각형은 6개의 동일한 정 삼각형으로 나눠질 수 있습니다. 
따라서 이 정육각형은 외접판 원의 지름이 2인 셈이죠.
정 6각형의 둘레는 6이고 원의 둘레는 이것보다 커야 됩니다. 
파이의 값은 6을 2로 나눈 것보다 커야 하는 거죠. 
그래서 3보다 큽니다. 이제 원을 내접하는 정사각형을 그려봅시다 정사각형의 둘레는 8인데 이는 원의 둘레보다 큽니다. 
따라서 파이 역시 8을 2로 나눈 4보다 작아야 하는 것이죠.
이러한 방법은 사실 수천 년 동안 알려져 있습니다. 
그리고 기원전 250년 아르키메데스가 이 방법을 개선했습니다. 
아르키미데스는 6각형을 12각형으로 만들었습니다. 
이는 원안에 위치하는 12면을 가진 정 12각형입니다. 
12각형의 둘레를 지름으로 나눈 것은 파이의 값보다 작을 것입니다. 
그리고 원을 외접하는 12각형의 둘레를 계산하여 파이의 상한을 구하였습니다.
사실 둘레를 구하기 위해서는 루트와 루트의 루트를 구해 이 모든 것을 분수로 바꿔줘야 하기 때문에 계산이 점점 까다로워집니다. 
하지만 아르키메데스는 12각형 24각형 48각형 점점 도형을 촘촘하게 하여 둘레를 구합니다. 
96각형에 다다랐을 때 파이의 값과 근접한 3 1408과 3 1429 사이에 존재하는 수를 구합니다.
이후 2천년 동안 엄청난 크기의 다면체를 가지고 파이를 구하기 시작하였고 중국 인도 페르시아와 아랍의 정말 많은 수학자들은 파이의 값을 더 정확히 구하는 데 일조하였습니다. 
16세기 후반 프랑스인 프랑스와 비에트는 아르키메네스보다 12배 이상으로 다형을 쪼개
무려 39만3216개의 변을 가진 다각형의 둘레를 계산해 최고 기록을 세웠고 17세기 네덜란드 수학자 리돌프 판 킬러는 이 기록을 갈아치웠습니다. 
리돌프는 다각형 둘레를 최대한 정확하게 계산하기 위해 25년을 쏟아 2의 62승을 계산했죠. 
2의 62승은
461경 1686조 184억 2738794개의 변입니다. 
이 모든 계산의 결과는 고작 파이의 소수점 이하 35자리까지 정확하게 구한 것이었습니다. 
리돌프는 그의 묘비에 그가 구한 숫자들을 새겼습니다.
20년 후 그의 기록은 크리스토프 그리앤 베르거가 38자리까지 구하며 깨졌습니다.
1666년 뉴턴은 이제 막 23살이 된 청년이었습니다. 
뉴턴은 흑사병이 퍼지던 시기여서 집에 격리되어 있었습니다. 
뉴터는 간단한 수학 표현식으로 노는 걸 즐겼습니다. 
1x의 제곱은 1 ex x 제곱인 걸 구할 수 있습니다. 
세 제곱도 세 번 곱해서
1 플러스 3x 플러스 3x스 제곱 플러스 엑스 세 제곱인 걸 구할 수 있고요 네 제도 다섯 제곱도 여러 번 곱해 구할 수 있습니다. 
뉴터는 여기서 지루한 산소 과정을 건너뛰고 바로 정답을 알아낼 수 있는 패턴을 구했습니다. 
수식의 숫자의 개수를 살펴보면
이 숫자들이 파스칼의 삼각형에 나오는 숫자와 동일하다는 사실을 알 수 있습니다. 
1x의 거듭 제공이 삼각형의 행에 대응한다고 볼 수 있습니다.
문명의 발전은 파스칼의 삼각형에 있는 숫자들에 대한 공식을 알아냈습니다. 
삼각형의 행에 존재하는 모든 숫자들을 다 더하지 않아도 원하는 숫자를 알아낼 수 있었죠. 
1x의 n제곱을 살펴보면 1 nx 플러스 n 곱하기 n 1 x 제곱을 이펙트로 나눈 거 플러스
n n x 세제곱을 3p로 나눈 거 플러스 쭉 이어지는 거를 이양 정리라고 부릅니다. 
2양인 이유는 두 개의 항인 1과 x만 존재하기 때문에 2항이라 부르고요 이 공식은 파스칼의 삼각형에서 볼 수 있는 n제곱에서 x의 개수가 일치한다는 사실을 정확하게 증명할 수 있는 정리입니다.
표준 이양 정리는 n이 양의 정수일 때만 적용 가능하다는 전제를 가지고 있습니다. 
이 모든 것은 일더하기 x라는 수식이 자기 자신을 어떠한 수만큼 곱하는 것이니까요. 
그러나 뉴턴은 말했습니다. 전제는 무시하고 그냥 이항 정리를 적용해 봅시다 수학은 패턴을 찾아 확장시킨 후 어디서 발레가 생기는지 찾는 것입니다.
그래서 듀터는 애네 자리에 마이너스 1을 집어넣어 봅니다.
그렇게 된다면 우리는 수식에서 마이너스 1과 1이 번갈아 나오게 되죠. 
플러스 1 마이너스 1 플러스 1 마이너스 1 계속 이어질 것입니다. 
엑스 마이너스 1이 나오고 플러스 x 제곱이 될 것이고 마이너스x 3 제이 되고 플러스 x 4 제곱 마이너스x 다섯 제곱이 되고 계속 될 것입니다. 
번갈아가면서 말이죠.
양의 정수를 대입한 경우 공식에서 봤듯이 nas는 곱하기 n 마이너스 1 곱하기 n 마이너스 2 곱하기 쭉 이어질 텐데 n이 양의 정수라면 결국 n이 어느 순간 0이 될 거고 그 이후의 개수들이 모두 0이 됨으로써 유한한 황들의 합이 되는 것입니다. 
따라서 유한하게 되죠.
이제 뉴터는 이항 정리가 n이 음수인 경우에도 성립한다는 것을 증명했습니다. 
이는 파스카의 삼각형이 더 있다는 것입니다. 
0 번째 열 위에도 우리는 여전히 0과 1을 추가하여 0 번째 열의 1이라는 수를 만들어낼 수 있다는 뜻입니다. 
그 열은 플러스 1과 마이너스 1이 번갈아가며 무한대까지 다다르겠죠.
그리고 표준 삼각형 밖에 존재하는 모든 수들은 암시적으로 0으로 생각합니다. 
이런 전제들은 앞서 말한 열의 값들과 맞아떨어집니다. 
플러스 1과 마이너스 1이 더해지면 0이 나오기 때문에 아랫줄에 0이 되기 때문이죠. 
그리고 이런 이항 정리를 사용하거나 역으로 계산해서 숫자들을 찾아 패턴을 음의 정수에 대해서까지 확장할 수 있습니다.
그리고 여기에는 놀라운 사실이 숨겨져 있습니다. 
음의 부호를 무시한다면 음수일 때 나오는 숫자들은 양의 정수일 때 배열된 숫자들과 똑같이 배열되어 있다는 사실을 발견할 수 있죠 삼각형이 회전한 것처럼 말이죠. 
뉴턴은 정수에서 끝내지 않았습니다.
분수로 확장했죠. 1x의 2분의 1승과 같이 분수 거듭 제곱을 시도합니다.
2분의 1을 대입하여 이항 정리에 적용하면 무한급수를 얻게 됩니다.
우리는 2분의 1 3분의 1 4분의 1과 같은 분수들이 파스칼의 삼각형에서 그들만의 열을 가지고 있고 각 열마다 이웃하는 분수들이 더해져서 그들 밑에 존재하는 숫자들을 만들어낸다고 생각하면 됩니다.
루트 3을 루트 4 마이너스 1로 4를 4 곱하기 1 마이너스 4분의 1로 4는 루트 밖으로 빠지게 되고 루트를 2분의 1승으로 표현할 수 있죠 그리고 1마이너스 4분의 1의 2분의 1승은 이양 정리 공식의 마이너스 4분의 1을 넣어 구할 수 있게 됩니다. 
무한급수의 수렴을 통해 말이죠.
뉴터는 특히 n이 2분의 1인 경우에 관심이 많았는데 이는 다니언의 방정식인 x 제곱 더하기 y의 제곱은 1이라는 공식과 유사하기 때문이죠. 
이 공식에서 y 값을 구한다면 원의 윗부분은 루트 10기 x의 제곱과 같기 때문입니다. 
이 수식은 우리가 지금까지 봐왔던 같은 수식에서 x를 x 제곱으로 바꾼 것일 뿐 같은 수식입니다. 
그저 마이너스가 붙고 각학의 x의 제곱 수가 두 배로 늘어난 것뿐이죠.
결과적으로 각 항의 x가 거듭 제곡이 되어 있고 개수가 유리수인 원외의 방정식을 가진 셈입니다.
뉴턴은 만약 0에서 1 사이에 x 곡선 아래를 적분하면 곡선 아래의 면적 즉 4분원의 면적을 구할 수 있다는 걸 깨달았습니다. 
다니언의 면적은 파이r 제곱인데 반지름의 길이가 1이니 다니언의 면적은 파이이고 4분원의 면적은 4분의 파이가 되는 것이죠. 
수식의 반대편에는 무한 급수가 존재합니다. 
뉴턴은 x에 제공해서도 접근을 하는 방법을 알고 있죠
제곡의 숫자를 1씩 더한 다음 새로운 제공의 숫자로 x의 개수를 나누면 됩니다. 
이제 우리는 무한한 일련의 행대를 분수와 간단한 연산을 통해 계산할 수 있습니다. 
x1을 대입하면 우리는 상당히 높은 정확도로 파일을 계산할 수 있습니다. 
뉴턴은 여기서 더 나아가 한 가지를 더 추가합니다.
무한급수를 가지고 있을 때 우리는 최대한 빠르게 항의 크기를 줄이려 노력합니다. 
계산량을 줄이면서 좋은 답을 얻어내기 위해서죠. 
뉴터는 만약 그가 0부터 1까지 접근하는 게 아니라 0부터 2분의 1까지만 접근을 한 후 x의 2분의 1을 대입하게 된다면 카캉의 x의 값은 몇 배로 더 빠르게 크기가 줄어들게 되는 걸 알아냈습니다.
x가 2분의 1인 경우는 그래프에서 보시다시피 4분의 1배로 줄어들게 되죠. 
하지만 절반만 접근을 하게 되면 곡선 아래 영역은 얼마나 될까요. 
이 부분은 넓이를 계산하면 12분의 파이인 30도 각도를 가진 왼쪽의 부채골과 민면이 2분의 1이고 높이가 루트 3인 오른쪽 삼각형으로 나눌 수 있습니다.
따라서 앞서 2분의 1을 대입한 수식의 결과는 이렇게 표현할 수 있는 거죠. 
좌변에 파일만 남겨두면 다음과 같이 표현할 수 있게 됩니다. 
첫 5개의 항만 계산한다면 파이는 3 14 16 1이라는 결과를 얻게 됩니다. 
10만 분의 2 정도의 오차밖에 나지 않는 비교적 정확한 값이죠.
빈 쿨렌이 4천 조개의 변을 가진 다각형을 계산할 때 뉴턴 급수로 50개의 형만 계산하면 되는 거죠. 
몇 년이 걸리던 작업이 며칠 만에 끝날 수 있게 된 것입니다. 
그리고 이 이후로 아무도 파일을 구하기 위해서 다각형의 이등분을 하지 않았답니다.
뉴욕에서 쉽게 찾아볼 수 있습니다. 보시다시피 기술들이 발전하는 모습을 볼 수 있죠 5층 건물이 줄줄이 늘어서 있다가 갑자기 20층 30층 90층의 고층 건물이 생겨나죠 핵심은 누가 기술을 가지고 있느냐가 관건입니다. 
정형화된 방식을 통해 확실한 답을 찾는 것은 언제나 정답이 아니고
오히려 아무도 생각하지 못했던 새로운 방식을 적용할 때 더 좋은 결과가 나올 수 있다는 것을 다시금 상기시켜줬습니다. 
특히 수학은 약간의 통찰력으로 아주 먼 길을 갈 수 있습니다.